[其他] 推文~【果壳】你拿披萨的方式，很可能是错的 告诉我们为何美帝薯片堪比挖掘机哈哈哈

郭某某

你拿披萨的方式，很可能是错的
Aatish Bhatia 发表于  2014-10-17 17:30

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2014-10-24 09:18

（Ent/编译）我们都遇到过这种情况。你抓起一块披萨，正要一口吞掉的时候，披萨一下子软了，从你的指尖处耷拉了下来。披萨饼本身的结构强度不够高，无法支持整片的重量。也许下次应该少加点儿料？不用，无需绝望。

如果是是个吃披萨多年的老手，那你应该知道怎么对付这样的场景：只需把披萨弯成U形即可。（手头没有披萨？拿一张纸试验一下就好。）

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2014-10-24 09:18

一张纸拿在手里就会耷下去，但弯曲握就能让它笔直。为什么呢？图片来源：Aatish Bhatia

这个披萨小窍门的背后，深藏着一项关于曲面的强力数学。这一数学发现如此绝妙，以至于它的发明人——数学天才卡尔·弗雷德里克·高斯（Carl Friedrich Gauss）——给它起了个拉丁文名叫Theorema Egregium，意思是“绝妙定理”。

拿一张纸，卷成圆柱形纸筒。你可能觉得显而易见，纸本来是平的，卷成筒就弯了，对吧？可是高斯不这么想。他想给纸的弯曲程度（“曲率”）下一个定义，让它不因你人工施加的弯曲而改变。

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2014-10-24 09:19

图片来源：Aatish Bhatia

如果你放大去看一只生活在纸筒上的蚂蚁，这只蚂蚁可以走很多条不同的路线。它可以沿着弯曲道路横着走下去，画出一个圆；也可以沿着平坦路线竖着走，走出一条直线。或者它可以把两种方式组合起来，走一条螺旋。

高斯的天才在于，他想到把所有这些路线都纳入曲率定义里面。办法是这样的：从任何一点出发，找到这只蚂蚁能选择的最极端的两条路线——也就是最凹的和最凸的两条线。然后把它们的曲率乘起来。凸的路线曲率是正的，凹的路线曲率是负的，直的路线曲率是0。你得到的数字，就是那个点上的高斯曲率。

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2014-10-24 09:19

图片来源：Aatish Bhatia

举几个例子吧。对于纸筒上的蚂蚁来说，最极端的两条路，一条是横着画圆，另一条就是竖着画直线。但是因为直线具有0曲率，所以乘起来总是得到0。照数学家的说法，纸筒是平的——它的高斯曲率就是0。这正是因为你能用平整的纸张卷出一个纸筒。

相反，如果蚂蚁活在一个球上，那么它就无法找到平坦的路线，每一条道路都会有一定程度的向外凸出，所以高斯曲率一定是个正的数。所以，球是弯的，而筒是平的。你可以把一张纸卷成一个筒，却永远不能卷成一个球。

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图片来源：Aatish Bhatia

高斯的绝妙定理就是：生活在曲面上的蚂蚁，根本不需要离开它就能知道曲面的曲率。只要测量一下距离，计算一下就行。顺便说，这也是为什么我们没有离开宇宙却能测量出我们的宇宙是不是平的（根据目前的观测来看，它是）。

但这个定理还有一个绝妙的结果：你可以随意弯曲一个曲面，只要你不拉长、压缩或者撕裂它，高斯曲率一定不会变。因为单纯弯曲不改变其上的距离，所以不管怎么弯，上面的蚂蚁总会计算出同样的高斯曲率。

听起来可能有点儿抽象，但是这推论有十分紧贴现实的结果。把一个橘子切成两半，吃掉里面的东西，然后把剩下半个橘子皮放在地上，踩吧。皮永远不可能被踩扁成一个完整的圆。相反，它一定会裂开。这是因为球面和平面拥有不同的高斯曲率，所以不扭曲、不撕裂，是不可能把球面压平的。有没有试过给人寄篮球当礼物？包装纸会遇到完全一样的问题。不管你怎么弯曲一张纸，它总会留下一点点“平”的痕迹，所以最后只能得到皱皱巴巴一团糟。

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桔子皮不可能压成完整圆——因为球面和平面高斯曲率不同（而且桔子皮也没有什么延展性）。图片来源：Aatish Bhatia

这个定理的另一个推论是，平面纸上永远不可能画出准确的地图。很多常见世界地图投影方式能精确地保留角度，但是在面积上就有严重误差。数学博物馆的推特指出，服装设计师也面临类似挑战——他们在平面上设计花样，却要符合弯曲的人体。

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每个红色圆圈的实际面积是相等的，但在地图上看起来就有很大的差异。图片来源：Stefan Kühn (左), Eric Gaba (右) / Wikimedia

那这一切和披萨饼有什么关系呀？是这样的：你拿起披萨之前，它是平的（数学上说，它的高斯曲率为0）。高斯绝妙定理指出，这片披萨必须有至少一个方向永远保持平整——不管你怎么弯，它一定会留下一点“平”的痕迹。当这片披萨塌下去的时候，平的方向（红色箭头）是朝侧面的，这对吃掉它可没有什么帮助。但是如果你抢在它塌下去之前，先把披萨侧着捏弯，就迫使另一个方向只能保持平整——也就是对着你嘴巴的方向。还真是绝妙的定理呀。

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没想到几何学也能这么美味吧。图片来源：Aatish Bhatia

在一个方向上弯曲，来迫使它在另一个方向上保持平直。一旦你理解了这个点子，你就会到处都看到它。仔细看看一片草叶。它通常都是沿着中央叶脉弯曲的，这能帮助它维持笔直，不会软塌下去。工程师经常用弯曲来强化结构承载力。在马德里扎祖拉体育场，西班牙结构工程师埃杜拉多·托罗亚（Eduardo Torroja）设计了一套创新的混凝土屋顶，从边缘一直伸到看台上方，遮蔽了大片区域，而厚度只有几厘米。这其实就是披萨技巧。

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2014-10-24 09:18

弯曲的草叶。图片来源：Dudley Carr / Flickr

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西班牙扎祖拉体育场。图片来源：Ximo Michavila

弯曲带来力量。想想看：你能站在一个空易拉罐上，它能轻松承载你的体重；可是易拉罐外壁的厚度差不多和纸一样薄。它的秘密就是它的弯曲。如果有人趁你站在上面的时候拿笔戳一下易拉罐，就能戏剧化地展现这一点——只需一个小凹坑，它就会在你脚下轰然崩塌。

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2014-10-24 09:19

纸板箱里隐藏的秘密。图片来源：Craig Sunter / Flickr

但最日常的例子可能是无处不在的波形建材。世界上简直没有比纸板箱更无聊的东西，但是撕开一个这样的箱子，你会看到箱壁里一条熟悉的波浪曲线。这些皱褶在里面可不是为了好看，它们是一种天才的结构方式：让材料又薄又轻，又能坚硬到足以承担可观的重压。

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2014-10-24 09:19

很多人小时候玩过的把戏：把一张纸折叠几次就能承载很大的重量，但它背后的数学可能你就想不到了。图片来源：Aatish Bhatia

波形金属板使用的也是同样的原理。这些不起眼的建材是纯实用性的体现，它们的形态和其功能完美契合；它们的高强度和相对低廉造价使其成为了整个现代世界的背景。

今天，我们就算看到这些波浪形金属板也几乎不会多想什么。但当它们诞生时，许多人把波形建材看成是奇迹材料。1829年，亨利·帕尔默（Henry Palmer）获得了波形建材的专利，他是一个英国工程师，负责建造伦敦码头。帕尔默建起了世界上第一个波形钢结构建筑——伦敦码头的松油棚屋。虽然它今天看来可能没什么了不起，但是听听当时的一家建筑学杂志是怎么描述它的吧：

不久前路过伦敦码头时，我们十分满意地发现，帕尔默先生新发明的屋顶已经得到了实际应用。……任何一个目光敏锐的人，路过的时候都不可能不被它的优雅和简洁所打动（虽然它只是个棚屋）；而只要稍加思索，他们就会相信这一建筑的效率之高、经济之节约。我们认为，这是自亚当诞生以来，人类之手所建造的最轻又最结实（以其重量而言）的屋顶。若我们仔细观察（我们为了这一目的而爬过了各式各样的粘稠松油罐），会发现这一屋顶的总厚度绝对没有超过十分之一英寸！

这年头的建筑学杂志真是大不如前了啊。

虽然波形建材和易拉罐的强度可以很高，但有个办法让这些材料变得更强。想自己找到这个办法？去冰箱拿个鸡蛋出来。放在掌心，整只手握住鸡蛋，挤吧。（尝试这个的时候记得别戴戒指。）你会为它的强度而惊讶的。我就没法把鸡蛋握坏，哪怕用尽全力也没戏。（真的，谁试谁知道。）

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请务必在家中尝试一下——好吧，为了安全，别在电脑前尝试。图片来源：Aatish Bhatia

鸡蛋为什么这么强？易拉罐和波形金属板在一个方向上是弯的，另一个还是平的。这一弯曲让它们拥有了一定强度，但它们还是有可能被压成本来的平板。

相反，鸡蛋壳两个方向上都是弯的。这是它的关键。用数学语言表达，那就是这些双重弯曲的曲面拥有非零的高斯曲率。像我们先前遇到的橘子皮一样，这意味着它们不可能被压平，除非有撕裂或者拉伸——有高斯绝妙定理保证这一点。要打破一个鸡蛋，你必须首先弄出一个坑。等到鸡蛋失去了弯曲，也就失去了强度。

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2014-10-24 09:18

图片来源：Owen Cliffe / Wikimedia

核电站冷却塔的象征性形状也在两个方向上利用了弯曲。这个形状叫做双曲面，能让所需的材料最少。正常的烟囱很像巨大易拉罐——结实是结实，但是很容易弯。双曲面形状的烟囱靠双向弯曲来解决这个问题，这样的弯曲方式能把形状“锁死”在空间中，提供额外的强度。

另一种得益于弯曲的形状是品客“薯片”，照数学家的说法，这是个双曲抛物面（hyperbolic paraboloid，舌头打结了没？）。

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2014-10-24 09:19

图片来源：Aatish Bhatia

自然界运用这一形状的招数堪称脑洞大开。濑尿虾有一项臭名昭著的本领——动物界里最快的拳击手，它的一拳打出去的力道足以把着力点上的水蒸发掉，创造出冲击波和闪光。要想使出这死亡一击，濑尿虾使用了双曲抛物面形状的“弹簧”。平时它把弹簧压缩起来储存巨大的能量，然后一招之内释放出来。

西班牙-墨西哥建筑师菲利克斯·坎德拉（Félix Candela）很懂薯片形状的力量。坎德拉是托罗亚的学生，他的建筑将双曲抛物面带到了新的高度（字面意思）。当你听到“混凝土”这个词的时候，恐怕只会想到无聊透顶的方块建筑，但坎德拉却利用双曲抛物面盖起了巨大的建筑，使用的混凝土薄到不可思议。身为这一材料的真正大师，他既是极富创新的建筑者，也是结构艺术家。

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2014-10-24 09:19

图片来源：Ciudad de las Artes y las Ciencias / Flickr

所以为什么薯片形状强度如此之高？这和它平衡张力与压力的方式有关。一切建筑都要支撑重量，最终将这些重量传递到地面上。这一传递可以靠两种不同方式完成：其一是压缩，拱顶就是纯靠压力而实现的例子；另一个就是拉伸，把一根锁链拎起来，它的每一环就都处于拉伸状态、受到张力。双曲抛物面结合了两种方式的优点。凹下去的U型部分处于拉伸状态，而凸起来的拱顶部分则是压缩，高斯绝妙定理则保证了任何一个地方的受力都会传递到四周——因为这是一个高斯曲率非零的曲面。只要你试图改变它的形状，就必须得连带压缩或者拉伸一整片区域才能让结果遵从高斯的律令；像纸张那样只弯曲一条线而不影响其他部分是不可能的。通过这样的双重弯曲，这一形状实现了张力和压力之间的精妙平衡，让它以很小的厚度就能实现惊人的强度。

通过弯曲来产生强度，这个想法塑造了我们所见的当代世界，而它的根源却来自万古不变的几何学。所以下一次你抓起一块披萨的时候，记得朝周围看看，欣赏一下这个简单的披萨小把戏背后的庞大遗产吧。（编辑：Calo）

参考资料

Reid, Esmond. Understanding buildings: a multidisciplinary approach. MIT Press, 1984.
Mornement, Adam, and Simon Holloway. Corrugated iron: building on the frontier. WW Norton & Company, 2007.
Garlock, Maria E. Moreyra, David P. Billington, and Noah Burger. Félix Candela: engineer, builder, structural artist. Princeton University Art Museum, 2008.



编译来源 wired.com, How a 19th Century Math Genius Taught Us the Best Way to Hold a Pizza Slice
本文版权属于果壳网（guokr.com），转载请注明出处。商业使用请联系果壳

chenxiangmulian

进来科普了

jialin

nice article - I didn't realize Gaussian curvature has so many applications, including pizza-holding, lol

lisasurf

thanks for sharing, really enjoy reading it

白言

果壳很值得看

阅读读

佩服，这是神贴，必须顶

lita

果壳原来这么不简单。

nya3

在楼主吃披萨前浮想联翩的时候，我已经把它吃完了
唉这也是差距啊

ttxxxx

没有心理准备的我。。。进来一看
这是一篇论文的程度了……

qinchengshan

长知识了，谢谢楼主。

huan

我看暈了。。。吃披薩，我知道要怎麼吃，因為吃出經驗來了。卻不想裡面暗藏了這麼多的知識。。。

NILL

我只看到pizza应该怎么拿着吃就不再往下阅读， 不过貌似知识贴啊，厉害

mondey

长知识了，吃个披萨都能这么高大上，这就是科学家和普通人的区别啊

pigo01234567

把一张纸折叠几次就能承载很大的重量，但它背后的数学可能你就想不到了。
--
长知识了，撕开一个这样的箱子，你会看到箱壁里一条熟悉的波浪曲线。
知道，但原来还真不知道，为什么？

noway131

在楼主吃披萨前浮想联翩的时候，我已经把它吃完了
唉这也是差距啊
nya3 发表于 2014-10-24 15:40

+10086
所以楼主增加的是智慧，偶增加的是脂肪！